www.humanisti.sk
Podporujeme
Spoločnosť PrometheusEthos – občianske združenie so zameraním na etiku, humanizmus a sekularizmusHumanisti Slovenska – občianske združenieZošity humanistovVladislav Marušic – ALTERNATÍVAAteisti Českej republiky Voľná myšlienka v ČeskuThe BrightsAdam Roman
Spolupracujeme
Kochlear.czÚnia nevidiacich a slabozrakých SlovenskaEurobabička Českej a Slovenskej republikyHoax.sk
Sčítanie ľudí bez náboženského vyznania
Atheist Census
Kultúrny program (Staré Mesto)
Bratislava-Staré Mesto
Adresa redakcie
e-mailová adresa redakcie
Internetový čas
Internet time: @688
Počítadlo


Spam poison

Výroková logika

O základoch logiky, o logických spojkách, pravdivostných tabuľkách a tautológiách.

Výroková logika, podobne ako napríklad algebra, má svoju vlastnú symboliku. Je pomerne ľahké si túto symboliku osvojiť. V algebre písmená x, y a z obvykle zastupujú nejaké neznáme čísla. Vo výrokovej logike používame písmená p, q, r a s (niekedy navyše rozlíšené aj pomocou indexov) k označeniu neznámych výrokov.

Výroky môžeme spojovať pomocou tzv. logických spojok. Najzákladnejšími spojkami sú:

(1) ¬ (ne)
(2) ∧ (a)
(3) ∨ (alebo)
(4) ⊃ (ak, potom)
(5) ≡ (práve vtedy, keď)

Ich význam si teraz podrobne vysvetlíme.

(1) Negácia. Pre každý výrok p rozumieme zápisom ¬p výrok, ktorý je k výroku p opačný prípadne protikladný. Zápis ¬p čítame ako „nie je pravda, že p“ alebo stručnejšie „nie-p“. Výrok ¬p sa nazýva negáciou p a je pravdivý vtedy, ak je výrok p nepravdivý, a naopak nepravdivý, pokiaľ je výrok p pravdivý. Tieto dve skutočnosti môžeme zhrnúť do nasledujúcej tabuľky, ktorú nazývame pravdivostnou tabuľkou negácie. V tejto tabuľke (a rovnako vo všetkých nasledujúcich tabuľkách) namiesto pravda používame písmeno „P“ a namiesto nepravda písmeno „N“.

p ¬p
P N
N P

Prvý riadok tabuľky nám hovorí, že ak má výrok p hodnotu P (to znamená, ak je pravdivý), potom výrok ¬p má hodnotu N. Z druhého riadku sa ďalej dozvieme, že keď má p hodnotu N, potom ¬p má hodnotu P. Tieto poznatky môžeme zapísať takisto pomocou nasledujúcich rovností:

¬P = N
¬N = P

(2) Konjunkcia. Pre ľubovoľné dva výroky p a q budeme výrok, že platí p a zároveň q, zapisovať ako „p∧q“. Výrazu p∧q hovoríme konjunkcia výrokov p a q. Konjunkcia je pravdivá vtedy, keď sú výroky p a q obe pravdivé, a nepravdivá, pokiaľ je ktorýkoľvek z nich nepravdivý. Dostali sme tak nasledujúce štyri rovnosti pre konjunkciu:

P∧P = P
P∧N = N
N∧P = N
N∧N = N

Tabuľka pravdivostných hodnôt konjunkcie vyzerá nasledovne:

p q pq
P P P
P N N
N P N
N N N

(3) Disjunkcia. Pre ľubovoľné dva výroky p a q výrazom p∨q myslíme tvrdenie, že aspoň jeden z výrokov p a q je pravdivý. Zápis p∨q čítame ako „p alebo q (a možno obidva)“. (Spojka „alebo“ má často i iný význam – môžeme jej totiž takisto rozumieť tak, že platí práve jedno. To však nie je význam, v ktorom my budeme spojku „alebo“ používať. Pokiaľ sa niekedy stane, že obidva výroky p a q budú pravdivé, budeme za pravdivý považovať rovnako výrok p∨q.)1 Zložený výrok p∨q sa nazýva disjunkcia výrokov p a q. Tabuľka pre disjunkciu vyzerá takto:

p q pq
P P P
P N P
N P P
N N N

Vidíme, že p∨q je nepravdivá iba vo štvrtom prípade, t. j. pokiaľ sú výroky p i q obidva nepravdivé.

(4) Ak, potom. Pre ľubovoľné dva výroky p a q zápisom p⊃q myslíme buď to, že p je nepravdivý výrok, alebo že obidva výroky p i q sú pravdivé – inými slovami, ak je p pravdivý výrok, potom je pravdivý rovnako výrok q. Výraz p⊃q čítame ako „ak p, potom q“ alebo inakšie „p implikuje q“ či takisto „nie je pravda, že p je pravdivý a q nepravdivý výrok“. Výroku p⊃q hovoríme implikácia, čím rozumieme podmienkový výrok utvorený z výrokov p a q.
Pre implikáciu platí nasledujúca tabuľka pravdivostných hodnôt:

p q pq
P P P
P N N
N P P
N N P

Všimnite si, že implikácia je nepravdivá len v druhom riadku tabuľky – t. j. vtedy, ak je p pravdivý a q nepravdivý výrok. To možno potrebuje bližšie vysvetliť: p⊃q znamená takisto výrok, že nie je zároveň pravda p a nepravda q. Jediný spôsob, ako implikácia môže byť nepravdivá, je teda prípad, kedy je tomu tak, že p je pravdivý a q nepravdivý výrok.

(5) Práve vtedy, keď (vtedy a len vtedy, keď). Dostali sme sa konečne ku zloženému výroku p≡q, ktorý tvrdí, že p i q sú zároveň obidva pravdivé alebo zároveň obidva nepravdivé výroky, t. j. inými slovami, že pokiaľ je jeden z nich pravdivý, potom je pravdivý i ten druhý. Výraz p≡q čítame ako „p je pravda vtedy a len vtedy, keď je pravda q“, najčastejšie ho však budeme čítať ako „p je pravda práve vtedy, keď q“ alebo konečne ako „p a q sú ekvivalentné“. (Spomeňte si, že o dvoch výrokoch povieme, že sú ekvivalentné, pokiaľ sú zároveň pravdivé alebo zároveň nepravdivé.) Výroku p≡q sa takisto hovorí obojstranná implikácia (obojstranná podmienka)2 výrokov p a q.
Tu máme jej pravdivostnú tabuľku:

p q pq
P P P
P N N
N P N
N N P

Zátvorky. Aby sme sa vyhli dvojznačnostiam, potrebujeme často zátvorky. Dajme tomu, že napíšem výraz p∧q∨r. Čitateľ z toho nijako nezistí, či mám na mysli, že platí výrok p a ďalej disjunkcia výrokov q alebo r, alebo či som mienil to, že platí konjunkcia výrokov p a q alebo výrok r. Pokiaľ mám na mysli prvú možnosť, mal by som výraz zapísať skôr ako p∧(q∨r), a pokiaľ druhú možnosť, mal by som napísať (p∧q)∨r.

Pravdivostné tabuľky zložených výrokov. Pravdivostnou hodnotou výrokov mienime to, či je tento výrok pravdivý alebo nepravdivý – t. j. keď je pravdivý, prisúdime mu pravdivostnú hodnotu P, a ak je nepravdivý, prisúdime mu pravdivostnú hodnotu N. Výroky „2+2=4“ a „Londýn je hlavné mesto Anglicka“, aj napriek tomu, že ide o dva úplne odlišné výroky, majú tú istú pravdivostnú hodnotu, t. j. obidva hodnotu P.

Teraz uvažujme dva výroky p a q. Pokiaľ vieme, akú pravdivostnú hodnotu majú výroky p a q, môžeme určiť pravdivostnú hodnotu zložených výrokov p∧q, p∨q, p⊃q, p≡q a samozrejme takisto výroku ¬p (a rovnako tak výroku ¬q). Z toho vyplýva, že pokiaľ máme danú ľubovoľnú kombináciu výrokov p a q (t. j. ľubovoľný výrok, ktorý je možné za použitia logických spojok vyjadriť ako kombináciu výrokov p a q), potom za predpokladu, že máme zadané pravdivostné hodnoty výrokov p a q, môžeme ľahko zistiť pravdivostnú hodnotu celej tejto kombinácie. Uvažujme napríklad výrok A, ktorý má tvar (p≡(q∧p))⊃(¬p⊃q). Pokiaľ máme zadané pravdivostné hodnoty výrokov p a q, potom postupne zistíme pravdivostné hodnoty výrokov q∧p, p≡(q∧p), ¬p, ¬p⊃q a konečne i celého výroku (p≡(q∧p))⊃(¬p⊃q). Existujú celkom štyri spôsoby ako výrokom p a q prideliť pravdivostné hodnoty, a v každom z týchto prípadov vieme určiť pravdivostnú zloženého výroku A.
Systematicky je to možné vykonať tak, že zostavíme nasledujúcu tabuľku:

p q qp p≡(qp) ¬p ¬pq (p≡(qp))⊃(¬pq)
P P P P N P P
P N N N N P P
N P N P P P P
N N N P P N N

Vidíme, že výrok A je v prvých troch riadkoch pravdivý a v štvrtom riadku nepravdivý.

Teraz uvažujme ďalší príklad: Nech máme výrok B = (p⊃q)⊃(¬q⊃¬p). Zostavme tabuľku pravdivostných hodnôt pre výrok B:

p q ¬p ¬q pq ¬q⊃¬p (pq)⊃(¬q⊃¬p)
P P N N P P P
P N N P N N P
N P P N P P P
N N P P P P P

Vidíme, že tabuľka B je pravdivá vo všetkých štyroch riadkoch. Dostali sme takto názorný príklad tautológie.

Môžeme takisto zostaviť tabuľku pre kombináciu pozostávajúcu z troch výrokových premenných – p, q a r. Teraz však musíme uvažovať už osem možností (pretože sú štyri možnosti ako priradiť hodnoty P a N výrokom p a q, a ku každej z týchto možností existujú ďalšie dve možnosti pre výrok r). Nech máme napríklad výraz C, ktorý má tvar (p∧(q⊃r))∧(r∧¬p). Pre C dostaneme nasledujúcu tabuľku:

p q r qr p∧(qr) ¬p (r∧¬p) (p∧(qr))∧(r∧¬p)
P P P P P N N N
P P N N N N N N
P N P P P N N N
P N N P P N N N
N P P P N P P N
N P N N N P N N
N N P P N P P N
N N N P N P N N

Vidíme, že výrok C je nepravdivý vo všetkých ôsmich riadkoch. V tomto prípade sme dostali pravý opak tautológie a máme tak výrok, ktorému sa hovorí kontradikcia. Neexistujú teda žiadne výroky p, q a r tak, aby kombinácia (p∧(q⊃r))∧(r∧¬p) bola pravdivá. (To sme viacmenej zdravým rozumom mohli zistiť aj bez tabuľky. Dajme tomu, že p∧(q⊃r) je pravda. Ale ako potom môže byť pravda (r∧¬p), keď ¬p je podľa nášho predpokladu určite nepravda?)

Pokiaľ chceme zostaviť pravdivostnú tabuľku pre štyri neznáme (dajme tomu pre p, q, r a s), musíme uvažovať celkom o šestnástich možnostiach, a naša tabuľka tak bude mať šestnásť riadkov. Pre každé celé číslo n všeobecne platí, že tabuľka pravdivostných hodnôt pre výrok o n neznámych má 2n riadkov (zakaždým, keď pridáme novú neznámu, zdvojnásobí sa počet riadkov).

Tautológia

Povedzme, že výrok je tautológiou, ak je pravdivý čisto na základe pravidiel pre pravdivostné hodnoty logických spojok. Dajme tomu, že niekto prehlási, že zajtra bude pršať, zatiaľčo niekto iný naopak tvrdí, že určite pršať nebude. Sotva sa dá iba pomocou pravdivostných tabuliek určiť, ktorý z týchto dvoch má pravdu. V skutočnosti musíme počkať až do zajtrajška a pozorovať počasie. Predstavte si však, že sa do veci vloží niekto tretí a povie: „Zajtra bude pršať alebo nebude pršať.“ Nuž, to je niečo, čomu hovorím zaručene istá predpoveď! Bez toho, aby sme museli čakať až do zajtrajška a pozorovať, aké bude počasie, vieme na základe čistého rozumu, že jeho výrok je pravdivý. Jeho tvrdenie má totiž tvar p∨¬p (kde p označuje výrok, že zajtra bude pršať) a pre každý výrok p je zodpovedajúci výrok p∨¬p vo všetkých prípadoch pravdivý (ako nám ľahko ukazuje pravdivostná tabuľka).

Zvyčajná definícia tautológie používa pojem formula. Formulou rozumieme ľubovoľný správne vyzátvorkovaný výraz zostavený zo symbolov ∧, ∨, ⊃, ≡ a symbolov pre výrokové premenné p, q, r, … atď. Presné pravidlá pre zostavovanie formúl znejú takto:

(1) Ľubovoľná samostatne stojaca výroková premenná je formula.
(2) Pokiaľ máme formuly X a Y, potom sú formulami takisto výrazy (X∧Y), (X∨Y), (X⊃Y) a (X≡Y). Formulou je samozrejme taktiež výraz ¬X.

Rozumie sa, že žiadny výraz nemôže byť formulou bez toho, aby nebol zostavený v súlade s pravidlami (1) a (2).

Pokiaľ uvažujeme o nejakej formule samostatne, môžeme sa bez dvojznačnosti zaobísť aj bez vonkajších zátvoriek. Ak napríklad povieme „formula p⊃q“, máme tým v skutočnosti na mysli „formulu (p⊃q)“.

Formula zvyčajne nie je sama o sebe pravdivá alebo nepravdivá, ale stáva sa pravdivou či nepravdivou vtedy, ak interpretujeme výrokové premenné tak, že zastupujú nejaké známe výroky. Keby som vám položil napríklad otázku: „Je formula (p∧q) pravdivá?“, mohli by ste sa proti mne ohradiť (a právom) so slovami: „To predsa záleží na tom, aké výroky premenné p a q zastupujú.“ Takže formula typu „p∧q“ je niekedy pravdivá a inokedy zasa nepravdivá. Na druhej strane formula ako „p∨¬p“ je pravdivá vždy (je pravdivá, nech výrok zastúpený premennou p hovorí čokoľvek), a z toho dôvodu jej hovoríme tautologická formula. Tautologická formula je teda podľa našej definície taká formula, ktorá je vždy pravdivá, alebo (čo je to isté) formula, u ktorej pravdivostná tabuľka má v poslednom stĺpci len samé písmená P (pravda). O výroku povieme, že je tautológiou, ak je možné vyjadriť ho za danej interpretácie výrokových premenných pomocou nejakej tautologickej formuly. (Napríklad výrok, že prší alebo neprší, vyjadríme pomocou formuly p∨¬p, kde výrok, že prší, označujeme ako „p“.)

Logické vyplývanie a ekvivalencia. Pre ľubovoľné dva výroky X a Y povieme, že z X logicky plynie Y alebo že Y je logickým dôsledkom X, ak výrok X⊃Y je tautológiou. Podobne povieme, že X je logicky ekvivalentný s Y, ak je výrok X≡Y tautológiou, alebo (čo je inými slovami to isté) ak X logicky implikuje Y a rovnako Y logicky implikuje X.

Niekoľko tautológií

Vytvorenie tabuľky pravdivostných hodnôt predstavuje systematickú metódu ako overiť, či nejaká formula je tautológiou alebo nie je. Viacmenej, aby sme u danej formuly zistili, či ide alebo nejde o tautológiu, často stačí, ak sa zamyslíme nad ňou len zdravým rozumom. Teraz si ukážeme niekoľko takých príkladov:

(1) ((p⊃q)∧(q⊃r))⊃(p⊃r).

Táto formula nám hovorí, že ak p implikuje q a q implikuje r, potom takisto p implikuje r. To je iste zrejmé (ale môžete si to samozrejme overiť zvlášť pomocou pravdivostnej tabuľky). Táto tautológia má takisto svoje pomenovanie – nazýva sa zákon hypotetického sylogizmu.

(2) (p∧(p⊃q))⊃q.

Táto formula tvrdí, že pokiaľ je výrok p pravdivý, a ak p implikuje výrok q, potom je pravdivý takisto výrok q. S malou obmenou je to možné povedať nasledovne: „Ak je niečo implikované pravdivým výrokom, potom to musí byť pravda.“

(3) ((p⊃q)∧¬q)⊃¬p.

Táto formula nám hovorí, že pokiaľ p implikuje nejaký nepravdivý výrok, potom takisto samotný výrok p musí byť nepravdivý.

(4) ((p⊃q)∧(p⊃¬q))⊃¬p.

Táto tautológia tvrdí, že keď p implikuje q a takisto negáciu q, potom výrok p je zaručene nepravdivý.

(5) ((¬p⊃q)∧(¬p⊃¬q))⊃p.

Tomuto princípu sa hovorí dôkaz sporom (reductio ad absurdum). Aby sme ukázali, že výrok p je pravdivý, stačí ak ukážeme, že ¬p implikuje nejaký výrok q a takisto jeho negáciu ¬q.

(6) ((p∨q)∧¬p)⊃q.

To je ďalší známy logický princíp: Ak je aspoň jeden z výrokov p a q pravdivý, a pokiaľ vieme, že výrok p je nepravdivý, potom z toho vyplýva, že pravdivý je výrok q.

(7) ((p∨q)∧((p⊃r)∧(q⊃r)))⊃r.

To je ďalší logický princíp známy pod názvom dôkaz rozborom prípadov. Dajme tomu, že p∨q je pravdivý výrok. Ďalej predpokladajme, že ako p, tak rovnako q implikujú r. Potom r musí byť pravdivý výrok (bez ohľadu na to, či pravdivý je výrok p alebo výrok q – alebo obidva zároveň).

Čitateľ, ktorý nemá ešte mnoho skúseností s výrokovou logikou, sa môže všetkému potrebnému naučiť pomocou nasledujúceho cvičenia.

Cvičenia. Určte, ktoré z formúl od (a) až po (m) sú tautológiami.

(a) (p⊃q)⊃(q⊃p)
(b) (p⊃q)⊃(¬p⊃¬q)
(c) (p⊃q)⊃(¬q⊃¬p)
(d) (p≡q)⊃(¬p≡¬q)
(e) ¬(p⊃¬p)
(f) ¬(p≡¬p)
(g) ¬(p∧q)⊃(¬p∧¬q)
(h) ¬(p∨q)⊃(¬p∨¬q)
(i) (¬p∨¬q)⊃¬(p∨q)
(j) ¬(p∧q)≡(¬p∨¬q)
(k) ¬(p∨q)≡(¬p∧¬q)
(l) (q≡r)⊃((p⊃q)≡(p⊃r))
(m) (p≡(p∧q))≡(q≡(p∨q))

Odpovede. (a) Nie je tautológia, (b) Nie je tautológia, (c) Je tautológia, (d) Je tautológia, (e) Nie je tautológia!, (f) Je tautológia, (g) Nie je tautológia, (h) Je tautológia, (i) Nie je tautológia, (j) Je tautológia, (k) Je tautológia, (l) Je tautológia, (m) Je tautológia (obidva výroky p≡(p∧q) i q≡(p∨q) sú ekvivalentné výroku p⊃q).

Čo sa týka cvičenia (e), mnoho začiatočníkov si myslí, že žiadny výrok p nemôže implikovať svoju vlastnú negáciu. To je však hrubá chyba! Ak je p nepravdivý výrok, potom ¬p je pravdivý výrok, a v tomto prípade je výrok p⊃¬p pravdivý! Viacmenej žiadny výrok nemôže byť ekvivalentný svojej vlastnej negácii, a preto (f) je naozaj tautológia.

Diskusia. Význam tautológií spočíva v tom, že sú to nielen pravdivé výroky, ale navyše výroky logicky zaručene pravdivé. Aby sme sa presvedčili o ich pravdivosti, nemusíme vymýšľať žiadne vedecké pokusy, ale môžeme si ich overiť čisto pomocou zdravého rozumu.

Existuje takisto iný spôsob ako charakterizovať tautológie bez poukazu na pojem formuly. Definujme stav vecí ako ľubovoľné rozdelenie všetkých výrokov na dve skupiny – na skupinu všetkých pravdivých a skupinu všetkých nepravdivých výrokov. Máme pritom jedinú podmienku, totiž že príslušné rozdelenie musí vyhovovať požiadavkám, ktoré kladieme na pravdivostné tabuľky logických spojok (nesmieme napríklad výrok p∨q označiť ako pravdivý, ak sme predtým obidva výroky p a q označili ako nepravdivé). Tautológia je potom taký výrok, ktorý je pravdivý vo všetkých možných stavoch vecí.

Tento pojem už úzko súvisí s Leibnizovou predstavou možných svetov. Filozof Gottfried Wilhelm Leibniz kedysi prehlásil, že zo všetkých možných svetov je práve ten náš najlepší. Pravdu povediac, nemám najmenšiu potuchu, či je to pravda alebo nie. Je však pozoruhodné, že Leibniz o iných možných svetoch vôbec uvažoval. Na základe tejto myšlienky sa od päťdesiatych a šesťdesiatych rokov dvadsiateho storočia začala vyvíjať úplne nová vetva filozofickej logiky, ktorá je známa pod názvom „sémantika možných svetov“ (prípadne „logika možných svetov“). Medzi jej hlavných priekopníkov patrí filozof Saul Kripke, a k tejto téme sa v ďalších kapitolách ešte vrátime. Pokiaľ máme zadaný nejaký možný svet, potom množina všetkých výrokov, ktoré sú v tomto svete pravdivé, tvoria spolu s množinou všetkých výrokov, ktoré sú v tomto svete nepravdivé, stav vecí platný pre tento svet.

Tautológia je taký výrok, ktorý je pravdivý nielen v našom svete, ale vo všetkých možných svetoch. Prírodné vedy sa tak zaujímajú o stav vecí, ktorý je platný v aktuálnom (skutočnom) svete, zatiaľčo čistá matematika spolu s logikou študujú všetky možné stavy vecí.

(1) Poznámka prekladateľa z anglického jazyka do češtiny Petra Hromka: Je súčasťou logického folklóru vysvetľovať symbol „∨“ poukazom na latinské slovko „vel“, ktoré označuje nevylučujúce „alebo“, a to na rozdiel od „aut“, výrazu pre „alebo“ vo vylučujúcom význame. V skutočnosti medzi „vel“ a „aut“ v latinčine takto ostrý rozdiel nie je.
(2) Na rozdiel od implikácie vyjadrenej v prirodzenom jazyku podmienkovou spojkou „ak, potom“ sa v bežnom jazyku zložený výraz „vtedy a len vtedy, keď“ obvykle nepoužíva a je možné sa s ním stretnúť iba v logických a matematických textoch. V anglicky písaných textoch sa čitateľ často stretne s výrazom iff, ktorý je skratkou z if and only if (vtedy a len vtedy, keď).

Raymond SmullyanZ anglického originálu Forever Undecided (A Puzzle Guide to Gödel), A Borzoi Book, Alfred A. Knopf, Inc., New York, 1987, preložil do češtiny PhDr. Petr Hromek.

Kniha vyšla s podporou Akadémie vied Českej republiky vo Vydavateľstve Academia:
Expedice Academia
Rozvojová 135,
160 00 Praha 6
e-mail: expedice@academia.cz

Redakčná poznámka k zobrazovaniu logických znakov: Niektoré prehliadače nedokážu zobraziť logické spojky, preto odporúčame použiť napríklad prehliadač Firefox, ktorý tieto znaky zobrazuje správne.

Stiahni súborVýroková logika (súbor je vo formáte PDF a má 180 kB).

Chcete sa vyjadriť? Využite diskusné fórum.

Raymond Merrill Smullyan
– narodil sa 25. mája 1919 vo Far Rockaway v New Yorku. Je známym logikom a matematikom a jedným z najväčších súčasných popularizátorov logiky (býva dokonca označovaný ako novodobý Lewis Carroll).
Čerpané z: kniha Navěky nerozhodnuto (Úvod do logiky a zábavný sprievodca ku Gödelovým objavom), ktorú vydalo Vydavateľstvo Academia v roku 2003, ISBN 80-200-1068-8.

Raymond Smullyan, 08. 01. 2010 | Prečítané: 17301 | Rubrika: Veda a spoločnosť

Zbierka na ochranu humanistov
Pomôžte humanistom vo svete! Mnohí čelia prenasle­dovaniu, mučeniu a trestu smrti za svoje presvedčenie. Pozri: Nová zbierka na ochranu humanistov vo svete.
HELP US PROTECT HUMANISTS AT RISK
Anketa
Myslíte si, že predseda NR SR JUDr. Andrej Danko odtajní svoju rigoróznu prácu?


Celkom hlasovalo: 22
Etická výchova
Ako by mala vyzerať etická výchova — alternatíva nábo­ženskej výchovy pre deti bez vyznania? Aký je váš názor?
Nové vo fóre
 Osvietený idiot
21-10-18 * 17:15
 Veľvyslanectvo
21-10-18 * 17:07
 Step
21-10-18 * 16:09
Brajti
The Brights
Kniha
Sumeri
Dobré knihy
Kniha Zakázané ovocie – Etika humanizmuKniha Nemnožme sa!Thomas Paine – Vek rozumu
Podporte útulok pre zvieratká
Podporte útulok pre zvieratká v Humennom
Biela pastelka 2018
Biela pastelka 2018
Vytvorené v redakčnom systéme phpRS © Jiří Lukáš | RSS | Návrat hore